מול העיר העתיקה, על גדת המוּר, ניצב ה'קונסטהאוס' — מוזיאון לאמנות בת־זמננו שצורתו הכחלחלה והבועתית זיכתה אותו בכינוי 'החייזר הידידותי' (Friendly Alien), בניגוד מכוון לאדריכלות ההיסטורית סביבו. סמוך אליו צף על הנהר 'אי המוּר' (Murinsel) — מבנה פלדה וזכוכית מלאכותי בצורת קונכייה המשמש כגשר להולכי רגל ובית קפה, שנבנה ב־2003 לרגל בחירת גראץ לבירת התרבות של אירופה. אזור מרהיב לצילום ולטיול ערב לאורך הנהר; יש לוודא כשרות בכל בית קפה בנפרד.